Геометрія фалес. Спроба реконструкції
Відео: Мілетська школа філософії
У всіх дослідженнях і джерелах з історії античної математики Фалес (625-547 до Р.Х.) згадується як перший давньогрецький математик і філософ. Щодо геометричних відкриттів Фалеса все джерела одностайні. Здається, що більш простий ознака рівності трикутників, по двом сторонам і куту між ними, Фалесу теж був відомий. Відомо також, що Фалес відвідував Єгипет, де визначив висоту однієї з пірамід. Стверджується, крім того, що Фалес навчався геометрії у єгипетських жерців, що, на наш погляд, вельми сумнівно (точніше сказати, слід повністю відкинути таку можливість, докладніше про це буде сказано далі).
Автор чудового дослідження відомий математик Б.Л. Ван дер Варден висуває свою версію творчості Фалеса, з якої, на жаль, погодитися не представляється можливим. За Б.Л. Ван дер варденів виходить, що Фалес в деталях ознайомився не тільки з єгипетськими, але і з вавілонськими математичними знаннями. Його не влаштовувало, що ці знання складаються, по суті, з нагромадження необгрунтованих фактів, а також окремі факти суперечать один. Фалес вирішив у всьому цьому розібратися і став будувати геометрію у вигляді дедуктивної системи, рухаючись від простих фактів до складних. На наш погляд, ця гіпотеза дуже вразлива. Виходить, що Фалес, взявшись за дедуктивний побудова геометрії, кинув це заняття, ледь отримавши найпростіші факти (зауважимо, Фалес прожив 80 років і часу у нього було достатньо). Не зрозуміло, в зв`язку з цим, в чому причина величезної популярності Фалеса у освіченої античної публіки.
Відео: Історія філософії: Фалес ( )
Дозволимо собі висловити деякі міркування з цього приводу. Популярність Фалесу здобули не відкриті їм факти, що стосуються трикутників і кіл, а проведені ним ефектні визначення довжин і відстаней, які будуть недоступні безпосередньому виміру. Як вже зазначалося вище, Фалес визначив висоту однієї з єгипетських пірамід. Крім цього, він визначав відстань до корабля в море, можливо, якісь інші величини, наприклад, ширину річки. Відкриті Фалесом геометричні факти становлять необхідний набір для вирішення цих завдань.
Почнемо з розгляду найбільш складного завдання з цього переліку: завдання визначення висоти піраміди. Зауважимо, то, що Фалес взявся за це підприємство, говорить про те, що він не мав безпосереднього спілкування з жерцями (по крайней мере, довірчого). Важко уявити, що жерці не знали яка висота цієї піраміди. Малоймовірно також, що вони поставили Фалесу це завдання в якості тесту на кмітливість.
Наведемо цитату з, яка сприймається як курйоз. Йдеться про метод, яким Фалес виміряв висоту піраміди: «Цей метод до подиву простий. Спочатку Фалес за допомогою звичайної палиці встановив годину, коли тінь і висота тіла рівні між собою, а потім в той же час він виміряв тінь піраміди, яка і була її висотою ». Насправді не все так просто, як здається авторам. Піраміда - НЕ палицею і має масивне квадратне підставу. А для того, щоб безпосередньо виміряти довжину тіні, треба дістатися до центру цього квадрата (що зробити неможливо). Фалес міг тільки відзначити точку, куди падає тінь від вершини піраміди. Зауважимо, що необхідною умовою існування такої точки є те, щоб висота піраміди була б більше половини боку підстави (інакше в призначений час вся бокова поверхня піраміди буде освітлена). Найвища з пірамід цій умові задовольняє. Коли точка, в яку потрапляє тінь вершини (нехай це - точка А), знайдена, то висота піраміди може бути знайдена в результаті виконання наступної процедури. Знайдемо точку В - найближчу до А з середин сторін підстави, потім знайдемо точку С так, щоб ВС було перпендикулярно до цієї сторони і АС було перпендикулярно ВС. Фалес міг це зробити, спираючись на відомі йому геометричні факти. Силу поставити з точки. В перпендикуляр до сторони піраміди можна використовуючи властивості рівнобедрених трикутників.
Виберемо на стороні піраміди по різні боки від В дві точки Bt і В2, так, щоб BBj = BB2. Візьмемо мотузку довжиною рази в три (приблизно) більше довжини BjB2. Перегнув мотузку навпіл, зафіксуємо її середину. Закріпимо кінці мотузки в точках Bj і В2 і натягнемо її за середину до упору. Середина мотузки ляже в деяку точку Cj, при цьому BCj буде перпендикулярно стороні піраміди (на якій лежить точка В). Тепер на продовженні відрізка BCt треба знайти точку С, про яку сказано вище. Це можна зробити наступним чином. Знайдемо точку At - середину АВ і проведемо окружність з центром в Aj радіусу А1В. Перетин цієї окружності з продовженням BCt і є точка С. Позначимо Про - недоступну нам точку - центр основи піраміди. Тоді шукана довжина тіні, вона ж висота піраміди, це - довжина відрізка OA, який є гіпотенузою прямокутного трикутника ОАС. Катет АС доступний, його довжину можна виміряти безпосередньо. Довжина ж катета ОС дорівнює сумі довжини відрізка СВ і половини довжини сторони основи піраміди. Отже, по відомим катетам треба визначити гіпотенузу. Теорему Піфагора Фалес не знав (інакше ця теорема називалася б теоремою Фалеса). Мабуть, він просто відтворив на вільному майданчику копію трикутника ОАС.
Відео: Енциклопедія - Фалес
бігати до теоретичних обґрунтувань, так як, маючи справу з недоступними відстанями, він не міг перевірити свої твердження дослідним шляхом. Далі, Фалес не надавав сукупності геометричних фактів статус окремої наукової дисципліни (висловлюючись сучасною мовою). Зауважимо у зв`язку з цим, що його учень Анаксимандр і учень Анаксимандра Анаксимен питань геометрії не торкалися. Хоча аргументація Фалеса не може розглядатися в якості повноцінного доведення теорем, як у Евкліда, але, безумовно, дедуктивний побудова геометрії починається саме з нього.
