Дисперсійний аналіз

При плануванні експерименту бувають ситуації, коли досліджувану систему необхідно розбити на групи, що відрізняються між собою в кількісному відношенні, і встановити подібність або відмінність між ними за впливом різних факторних величин на ознака. Наприклад, визначити ступінь впливу географічних умов на хід тих чи інших процесів, явищ. Таким умовам найкраще відповідає дисперсійний аналіз, який знайшов застосування в фізичної географії.

Дисперсійний аналіз дозволяє стверджувати з певною часткою впевненості наявність впливу на досліджуваний об`єкт кожного з умов окремо або в їх поєднаннях. Обов`язковою умовою застосування дисперсійного аналізу є розбивка кожного обліковується чинника не менше ніж на дві групи. Вони можуть бути представлені як якісними, так і кількісними показниками. Якісні показники наводяться у вигляді балів. Аналізу піддаються лише визначають поведінку об`єкта чинники, які встановлені дослідником. За кількістю визначальних чинників дається назва виду дисперсійного аналізу (одно-, дво-, трехфакторной і т. Д.).

Обробка даних дисперсійного аналізу - досить трудомісткий процес-полегшує обчислення правильна організація досвіду. Порядок розрахунку в різних видах дисперсійного аналізу буде різним, але логічна схема залишається єдиною. Фактори в дисперсійному аналізі повинні бути незалежними один від одного-кожен фактор слід розділити на групи, кількість яких залежить від поставленого завдання.

Дисперсійний аналіз застосовується у випадках нормального або близького до нього розподілу вибіркових сукупностей. Вибірки повинні мати близькі за значенням показники дисперсії sigma-². Кількість повторностей в кожній виділеній групі приймається однаковим.

Основні труднощі при використанні дисперсійного аналізу - складання комбінаційної таблиці для обробки даних (дисперсійний комплекс). Якщо число спостережень над результативним ознакою за окремими групами досліджуваного фактора однаково, то дисперсійний комплекс називається рівномірним, якщо різний, то нерівномірним. Загальна кількість спостережень над результативним ознакою прийнято називати обсягом дисперсійного комплексу.

Порядок дії за кожним видом дисперсійного аналізу визначається його основним завданням, яка складається в розподілі сумарного або загального варіювання досліджуваної ознаки на частки: варіювання, яке викликається дією окремих факторів-варіювання, яке викликається взаємодією факторів між собою-залишкове варіювання об`єкта, яке визначається невраховуваних факторами.

Однофакторний дисперсійний аналіз

Серед різних видів дисперсійного аналізу найбільш часто використовується однофакторний. Для виконання однофакторного аналізу в досвіді має бути передбачено дві повторності і більш. Досліджуваний фактор розбивається на групи з метою виявлення його оптимальної величини, що впливає на результативну ознаку. Для полегшення розрахунку можна зменшити всі показники в межах дисперсійного комплексу на певну величину, а потім збільшити кінцеві результати на ту ж величину.

Географи досліджують не тільки природні, але і сільськогосподарські ландшафти (агроландшафти), що зазнають суттєвих змін під впливом агротехногенеза. Використання системного аналізу дозволяє не тільки констатувати зміни в агроландшафтів, а й активно включатися в його перетворення.

Відомо, що оптимальними умовами живлення рослин відповідає дернова легкосуглинистая гумусірованние нейтральна грунт. Її можна створити шляхом внесення в орний горизонт добавок мінерального грунту певного механічного складу і торфу. Формування штучної антропогенної грунту вимагає польових експериментів. У зв`язку з цим поставлено наступне завдання: визначити вплив на урожай зерна ячменю різних доз торфу (200, 300, 400 т абсолютно сухої речовини на гектар) при внесенні його на тлі мінеральних, органічних добрив і доломітового борошна. Вихідна грунт - дерново-підзолистий глеюваті связносупесчаная осушена. Після отримання відомостей про врожайність ячменю в названих умовах складається таблиця дисперсійного комплексу (табл. 2.1), куди заноситься початкова інформація по групах впливає чинника (варіантами досліду) і деякі результати розрахунків (для зручності зроблено округлення по врожайності до цілих чисел). Спочатку проводимо розрахунок даних за варіантами досвіду (рядках).

Результати розносимо по стовпцях. Сумарний урожай ячменю за повторностям Sigma-x_i і по кожному варіанту досвіду вносимо в стовпець 6 в чисельнику. Аналогічно робимо з квадратами цих показників Sigma-x_i². Потім в стовпці 7 наводимо квадрати сумарного врожаю ячменю по повторностям (Sigma-x_i)². І, нарешті, обчислюємо середнє арифметичне М_iпо кожному варіанту досвіду, заносимо в стовпець 8- обчислюємо загальну середню М_заг.

Після отримання даних за варіантами досвіду проізshy-водимо розрахунок необхідних показників по повторностям (х_k). Спочатку підсумовуємо дані врожайності ячменю і наводимо в рядку під рискою Sigma-x_k. Суми сум врожайності ячменю за варіантами досвіду і повторностям повинні співпасти і дати суму всіх варіант (Sigma-Sigma-x_i,k = 495). Аналогічно підсумовуємо квадрати цих показників по повторностям (Sigma-x_k²). Суми сум квадратів за варіантами та повторностям досвіду повинні співпасти і дати суму квадратів всіх варіант (Sigma-x_i² = Sigma-x_k² = 15 935). Нижче вписуємо результати зведення в квадрат сум варіант по кожній повторності (Sigma-x_k)² і підсумовуємо їх: Sigma- (Sigma-x_k)² = 61 269. Обчислюємо середнє арифметичне по кожній повторності досвіду М_k. Загальна середнє арифметичне всіх варіант досвіду становить М_заг = (Sigma-x_i,k) /N= 495: 16 = 30,93.

Таблиця 2.1 Однофакторний дисперсійний аналіз

Примітка: * В чисельнику - досвідчені дані, в знаменнику - квадрати цих показників

Наступний етап роботи - знаходження сум квадратів відхилень, тобто розчленування загального варіювання ознаки на складові частини виходячи з рівності:

Theta- = Theta-₁ + Theta-₂ + Theta-₃,

де Theta-- сума квадратів відхилень за загальним варьированию даних, Theta-₁ - по групах фактора (варіанти досвіду), Theta-₂ - по повторностям досвіду, Theta-₃ - за залишковим варьированию, викликаному неврахованими факторами.

Загальна сума квадратів відхилень обчислюється таким чином:

Theta- = Sigma-(Sigma-x²_{i, k}) - (Sigma-Sigma-x_{i, k})² / N

Підставивши дані з табл. 2.1, отримаємо: Theta- = 15 935 - 495²: 16 = 621. Потім знаходимо суму квадратів відхилень по групах фактора (варіанти досвіду) за формулою:

Theta-₁ = [Sigma-(Sigma-x_i)² - (Sigma-Sigma-x_{i, k})²/ K] / i, (2.1)

де k - число груп фактора, т. Е. 4 i - число повторностей, тобто 4. В даному випадку має витримати рівність N = ki= 4 4 = 16. За формулою (2.1) обчислимо:

Theta-₁ = [63703 - 495² : 4]: 4 = 611,75.

Суму квадратів відхилень по повторностям досвіду знаходимо за формулою

Theta-₂ = [Sigma-(Sigma-x_k)² - (Sigma-Sigma-x_{i, k})²/ I] / k, (2.2)

де i - число повторностей, т. Е. 4 k- число доданків в кожній сумі Sigma-x_k, тобто 4.

обчислюємо Theta-₂ за формулою (2.2):

Theta-₂ = [61269 - 495² : 4]: 4 = 3,25.

Таблиця 2.2 Результати однофакторного дисперсійного аналізу

Сума квадратів відхилень за залишковим варьированию визначається з рівності

Theta-₃ = Theta- - Theta-₁ - Theta-₂. (2.3)

Підставивши значення обчислених сум відповідних квадратів відхилень в формулу (2.3), отримаємо

Theta-₃ = 621 - 611,75 - 3,25 = 6,00

Проводимо дисперсійний аналіз даних врожаю ячменю (табл.2.2). Вносимо в таблицю розраховані суми квадратів відхилень (Theta-, Theta-₁, Theta-₂, Theta-₃). Число ступенів свободи отримуємо наступним чином: по загальній сумі квадратів відхилень nu- = N - 1 = 16 - 1 = 15 по варіантах досліду nu-₁ = n₁ - 1 = 4 - 1 = 3 по повторностям nu-₂ = n₂ - 1 = 4 - 1 = 3 по залишковій сумі nu-₃ = nu- - nu-₁ - nu-₂ = 15 - 3 - 3 = 9.

Дисперсія визначається шляхом ділення суми квадратів відхилень (Theta-, Theta-₁, Theta-₂, Theta-₃) На відповідні їм числа ступенів свободи (nu-, nu-₁, nu-₂, nu-₃), Що можна висловити в загальному вигляді формулою sigma-² = Theta-/ Nu-, отримаємо sigma-²= 621: 15 = 41,40.

Оцінку подібності або відмінності між варіантами досліду можна проводити за критерієм Фішера, критерію Стьюдента або НСР.

оскільки F_ф gt; F_т (Див. Табл. 2.2 і дод. 5), то це дозволяє зробити висновок, що внесення великих доз торфу позитивно впливає на величину врожаю ячменю в агроландшафтів.

Найбільш поширений в дисперсійному аналізі для оцінки результатів досвіду критерій НСР, алгоритм якого наводимо нижче. . Оскільки помилка середнього для всіх порівнюваних варіант одна і та ж, формула для розрахунку помилки різниці може бути перетворена. Найменшу істотну різницю розраховуємо за формулою (1.24). НСР_0,95 = 0,58 2,26 = 1,31

НСР_0,99 = 0,58 3,25 = 1,88

З отриманих результатів дисперсійного аналізу випливає такий висновок (табл. 2,3). величина НСР_0,95 і НСР_0,99 менше величини прибавки врожаю зерна ячменю, тому внесення високих доз торфу позитивно впливає на врожай. Кращий результат отриманий у варіанті з дозою внесення торфу 400 т / га, де прибавка зерна ячменю склала 15,5 ц / га.Ошібку загального середнього арифметичного використовують для обчислення точності досвіду. Показник точності досвіду для загального середнього арифметичного обчислюється таким чином:

p_Мзаг = (m_заг/M_заг) middot- 100 = (0,41: 30,90) middot- 100 = 1,32%.

Оскільки р = 1,32%, т. Е. lt; 3%, то досвід визнається досить точним

Таблиця 2.3 Вплив високих доз торфу на урожай ячменю

Аналогічним чином обчислюється точність досвіду для приватних середніх арифметичних за варіантами досвіду і по повторностям:

p_в = (m_в/M_в) 100 p_п = (m_п/M_п) 100.

Статті за темою "Дисперсійний аналіз"

Вирівнювання по способу найменших квадратів

Нанесення умовних топографічних знаків на карту

Мат. Методи

Визначення відстаней по карті різними способами